Теория баз данных

       

Теоретико-множественные операции реляционной алгебры


Объединением двух отношении называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R1 = { r1 } , R2 = { r2 }. где r1 и r2 — соответственно кортежи отношений R1 и R2, то объединение

R1

R2 = { г | г
R1
r
R2 }. Здесь r — кортеж нового отношения,
— операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен па рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R1 и R2, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R3 содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

R1

Шифр детали

Название детали

00011073

Гаика Ml

00011075

Гайка М2

00011076

Гаика M3

00011003

Болт Ml

00011006

Болт МЗ

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

R2

Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка М1

00011076

Гайка М3

00011077

Гайка М4

00011004

Гайка М2

00011006

Гайка М3

R3


Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка Ml

00011075

Гайка М2

00011076

Гайка МЗ

00011003

Болт Ml

00011006

Болт МЗ

00013063

Шайба Ml

00013066

Шайба МЗ

00011077

Гайка М4

00011004

Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1

R2={ г | r
R1 ^ г
R2 }, здесь ^ — операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4


Шифр детали

Название детали

00011073

Гайка Ml

00011076

Гайка МЗ

00011006

Болт МЗ

Разностью отношений R1 и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:



R5 = RI \ R2 = { г | r

R1 ^ r
R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение RG содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r
R2 ^ r
R1 }









































R5











Шифр детали





Название детали





00011075



Гайка М2



00011003



Болт Ml



00013063



Шайба Ml



00013066



Шайба МЗ































R6







Шифр детали



Название детали



00011077



Гайка М4



00011004



Болт М2







































































R3





Шифр детали





Название детали





00011073



Гайка Ml



00011075



Гайка М2



00011076



Гайка МЗ



00011003



Болт Ml



00011006



Болт МЗ



00013063



Шайба Ml



00013066



Шайба МЗ



00011077



Гайка М4



00011004



Болт М2



Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R1 и R2:

R3 = R1
R2 ={ r | r
R1 ^ r
R2 }

здесь ^— операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R4 содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

































R4





Шифр детали





Название детали





00011073



Гайка M1



00011076



Гайка МЗ



00011006



Болт МЗ



Разностью отношений R, и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2:

R5 = R1 \ R2 = { r | r
R1 ^ г
R2 }

Отношение R5 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R6 содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R6 = R2 \ R1 = { r | r
R2 ^ r
R1 }







































R5





Шифр детали





Название детали





00011075



Гайка М2



00011003



Бол г M1



00013063



Шайба M1



00013066



Шайба МЗ





























R6





Шифр детали





Название детали





00011077



Гайка М4



00011004



Болт М2



Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R5 и R6.



В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R1 R2 и R3. Все они имеют эквивалентные схемы.

  • R1= (ФИО, Паспорт, Школа);

  • R2= (ФИО, Паспорт, Школа);

  • R3= (ФИО, Паспорт, Школа).

    Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R1 содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R2 содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R3 содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

    Ответим на следующие вопросы:

  • Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R1
    R2 \ R3

  • Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R1 \ R2
    R3 )
    (R2 \ R1
    R3)

  • Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

    Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R1 и R2, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R3, потому что они поступили.


    R = R1
    R2
    R3

  • Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

    Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R1 и не присутствуют в R2, и те, кто присутствуют в R2 и не присутствуют в R1. И разумеется, никто из них не присутствует в R3. R = (R1 \ R2)
    (R2 \ R1) \ R3

    В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R3.

    Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

    Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R1 ® R2, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

    Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c1, с2, ..., сn> и q = <q1, q2, ..., qm> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).

    (с, q) = <с1 с2, ... , сn, q1, q2, .... qm>

    Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

    Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

    Расширенным декартовым произведением отношения R, степени n со схемой

    SR1=(А1,А2...,Аn) и отношения R2 степени m со схемой

    SR2=(В1,В2, ... , Вm) называется отношение R3 степени n+m со схемой

    SR3 = (А1, А2, ... , Аn, В1, В2, ..., Вm),

    содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа г отношения R] с каждым кортежем q отношения R2.



    То есть если R1 = { r }, R2 = { q }

    R1
    R2 = {(r, q) | r
    R1 ^ q
    R2}

    Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.

























































































    R7











    Шифр детали





    Название детали





    00011073



    Гайка M1



    00011075



    Гайка М2



    00011076



    Гайка МЗ



    00011003



    Болт М1



    00011006



    Болт МЗ



    00013063



    Шайба Ml



    00013066



    Шайба МЗ



    00011077



    Гайка М4



    000ll004



    Болт М2



    00011005



    Болт М5



    00011006



    Болт М6



    00013062



    Шайба М2



























    R8





    Цех



    Цех 1



    Цех 2



    Цех 3



    Тогда отношение R9, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

































































































































    R9



    Шифр детали





    Название детали





    Цех





    00011073



    Гайка Ml



    Цех 1



    00011075



    Гайка М2



    Цех 1



    00011076



    Гайка МЗ



    Цех 1



    00011003



    Болт Ml



    Цех 1



    00011006



    Болт МЗ



    Цех 1



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 1



    00013066



    Шайба МЗ



    Цех 1



    00011077



    Гайка М4



    Цех 1



    00011004



    Болт М2



    Цех 1



    00011005



    Болт М5



    Цех 1



    00011006



    Болт Мб



    Цех 1



    00013062



    Шайба М2



    Цех 1



    00011073



    Гайка Ml



    Цех 2



    00011075



    Ганка М2



    Цех 2



























































































































    R10



    Шифр





    Название детали





    Цех





    00011073



    Гайка Ml



    Цех 1



    (МО И 075 000 11 076



    Гайка М2 Гайка МЗ



    Цех 1 Цех 1



    000 11 003



    ! Болт Ml



    Цех 1



    0011 0006



    Болт МЗ



    Цех 1



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 1



    000 11060



    Шайба МЗ



    Цех 1

    000 11 004



    Болт М2

    Цех 1


    00011077



    Гайка М4



    Цех 1



    00011006



    Болт МЗ



    Цех2



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 2



    0013066



    Шайба МЗ



    Цех 2

    00011077 Гайка М4 Цех 2
    0001 0778 Болт М2 Цех 2
    <


    /p>



















































































































































































    00011076



    Гайка МЗ



    Цех 2



    00011U03



    Болт Ml



    Цех 2



    00011006



    Болт МЗ



    Цех 2



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 2



    00013066



    Шайба МЗ



    Цех 2



    00011077



    Гайка М4



    Цех 2



    00011004



    Болт М'2



    Цех 2



    00011005



    Болт М5



    Цех 2



    00011006



    Болт Мб



    Цех 2



    00013062



    Шайба М2



    Цех 2



    00011073



    Гайка Ml



    ЦсхЗ



    00011075



    Гайка М2



    ЦехЗ



    00011076



    Гайка МЗ



    Цех 3



    00011003



    Болт Ml



    ЦехЗ



    00011006



    Болт МЗ



    ЦехЗ



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 3



    00013066



    Шайба МЗ



    ЦехЗ



    00011077



    Гайка М4



    ЦехЗ



    00011004



    Болт М2



    Цех 3



    00011005



    Болт М5



    ЦехЗ



    00011006



    Болт Мб



    ЦехЗ



    00013062



    Шайба М2



    ЦехЗ































































































































    00011006



    Болт Мб



    Цех 2



    00013062



    Шайба М2



    Цех 2



    00011073



    Гайка Ml



    ЦeхЗ



    00011075



    Гайка М2



    ЦехЗ



    00011076



    Гайка МЗ



    ЦехЗ



    00011003



    Болт Ml



    ЦехЗ



    00011006



    Болт МЗ



    Цех 3



    00013063



    Шайба Ml



    Цех 3



    00013066



    Шайба МЗ



    ЦехЗ



    00011077



    Гайка М4



    Цeх3



    00011005



    Болт М5



    Цех3



    00011006



    Болт Мб



    Цех3



    00011005



    Болт М5



    Цех 1



    00011006



    Болт Мб



    Цех 1



    00013062



    Шайба М2



    Цех1



    В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом «все». Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R9 отношение R10, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

    Отношение R11, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

    R11 = R9 \ R10









































































    R11





    Шифр детали





    Название детали





    Цех





    00011073



    Гайка Ml



    Цех 2



    00011075



    Гайка М2



    Цех 2



    00011076



    Гайка МЗ



    Цех 2



    00011004



    Болт М2



    ЦехЗ



    00013062



    Шайба М2



    ЦехЗ



    00011003



    Болт Ml



    Цех 2



    00011005



    Болт М5



    ЦехЗ



    Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию можно заменить сочетанием операций объединения и пересечения.

    (R1
    R2) \ (R1 \ R2) \ (R2 \ R1)

    Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

    Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.


    Содержание раздела







    Forekc.ru
    Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий